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Question 5 : "un nombre étrange" : Quel(s) nombre(s) a (ont) autant d'unité(s) que de millier(s) ?

Réponses des 443 internautes ayant voté: 52 % ont voté "1001 1002 ...", 35 % ont voté "0" et 13 % "iaucun". Une grande majorité de votes faux sur cette question encore une fois.

Réponse : 0 et c'est le seul !

Explications : 0 a 0 unité et 0 millier, il a aussi 0 dizaine etc, donc 0 a autant d'unité que de dizaine, que de centaine, que de millier ...
Attention 1001 a 1 millier mais 1001 unités, 2002 a 2 milliers mais 2002 unités etc.

Question 4 : "triangle & Cie" : Quel triangle a la plus grande aire ? celui de côtés 5,5,8 ou celui de côtés 5,5,6.

Réponses des 288 internautes votant entre le 3/01/2003 et le 15/09/2003 : 53 % ont voté le "5,5,8", 24 % ont voté le "5,5,6" et 23 % "ils ont la même aire". Une grande majorité de votes faux sur cette question.

Réponse : Ils ont la même aire.

Preuve : Ces deux triangles sont isocèles, pour trouver la hauteur issue du sommet principal on divise la base par 2 ( soit 4 pour le 5,5,8 et 3 pour le 5,5,6) on a un triangle rectangle dans chaque cas, le théorème de Pythagore nous donne alors la hauteur (on utilise le triangle 3,4,5 rectangle), pour le 5,5,8 on a 5,4 d'où h=3 et donc l'aire est b*h/2 = 8*3/2 = 24/2 = 12,pour le 5,5,6 on a 5,3 d'où h=4 et donc l'aire est b*h/2 = 6*4/2 = 12. Les deux triangles ont la même aire.
CQFD

Question 3 : "cube" : Si on veut à peu près doubler le volume d'un cube, on rajoute à chaque arête :
sa longueur, la moitié de sa longueur ou le quart de sa longueur.

Réponses des 392 internautes votant entre le 17/04/2002 et le 3/01/2003 : 59 % ont voté le quart de sa longueur, 21 % ont voté la moitié de sa longueur et 20 % sa longueur.

Réponse : le quart de sa longueur.

Preuve : soit c la longueur et c³ le volume du cube de départ,
- si on rajoute 1/4 de c cela (1+0,25)c = 1,25 c comme nouvelle arête
le nouveau volume lui est (1,25 c)³ = 1,25³ c³ ce qui fait à peu près 2c³ soit le double du volume initial.
- si on rajoute sa longueur, c'est à dire si on double toute les longueurs, le volume est multiplié par 8.
- si on rajoute la moitié de sa longueur chaque arête est multipliée par 1,5 et le volume est multiplié par 1,5³= 3,375
CQFD

Question 2 : "des hauts et des bas" : Une augmentation de 10% suivie d´une baisse de 10% ...
ça ne change rien ou ça fait une baisse ou ça fait une hausse.

Réponses des 265 internautes votant : 55 % ont voté la baisse, 28 % ont voté la hausse et 17 % ça ne change rien.

La Réponse : ça fait une baisse (de 1%) .

Preuve : augmenter de 10% revient à multiplier par 1,1 ; baisser de 10% revient à multiplier par 0,9 ;
augmenter de 10% puis baisser de 10% revient donc à multiplier par 1,1 * 0,9 = 0,99 c'est à dire à baisser de 1%.
CQFD

Question 1 : "les deux amis" : Qui est le plus grand de 1/0,99999999999 et 1,00000000001 ?
1/0,99999999999 ou 1,00000000001 ou ils sont égaux

Réponse : 1/0,99999999999 est le plus grand.

Preuve : une preuve littérale, soit 0<a<1, comparons 1+a et 1/(1-a),
1/(1-a) - (1+a) = (1+a) / (1-a)(1+a) - (1-a) / (1-a)(1+a) = (1+a) / (1-a²) - (1-a) / (1-a²) = 2a / (1-a²)
or a>0 donc 2a>0 et a<1 donc (1-a²) >0 ainsi 2a / (1-a²)>0 donc 1/(1-a) - (1+a)>0 et 1/(1-a) > (1+a) CQFD.